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等價關系的認識

作者: yangzhanghui 相關  |  發布日期 : 2013-10-25  |  熱度 : 249°

等價關系的定義:設R是集合A的二元關系,若R是自反的,對稱的,傳遞的,則稱R是等價關系。

由定義可知,所謂等價關系就是具有自反性,對稱性和傳遞性的二元關系。

(1)如何滿足自反性?

定義:設R是集合A的二元關系,若對任一x屬于A,都有<x,x>屬于R,則R是自反的。

注意,集合A中的每一個元素都自相關,且都屬于R。

(2)如何滿足對稱性?

定義:設R是集合A的二元關系,若對任一對x,y屬于A,每當<x,y>屬于R時,就有<y,x>屬于R,則R是對稱的。

注意,在集合R中,(a,b)存在,則(b,a)就一定存在。

(3)如何滿足傳遞性?(整除關系,同組關系等)

定義:設R是集合A的二元關系,若對任意的x,y,z屬于A,每當xRy且yRz時,就有xRz,則R是傳遞的。

判別法,R是A是的關系具有傳遞性的充要條件是a(i,j)=1,則a(i),a(j)必同時為1.

因為“同組關系”具有自反性,對稱性,傳遞性。可得出結論等價關系實際上就是同組關系。另外“模的同余關系”也是等價關系。

等價關系與劃分:等價關系與劃分是一一對應的。所以可以利用劃分來求等價關系。

何為劃分?設A1,A2,A3...An為A的子集,滿足條件:A1,A2,A3...An的并集是A;A1,A2,A3...An中任何兩個的交集為空,把以A1,A2,A3...An為元素構成的集合S={A1,A2,A3...An}稱為A的一個劃分。

其它一些知識點:

1,空關系是反自反的,對稱的,傳遞的

2,全域關系是自反的,對稱的,傳遞的。屬于等價關系。

3,恒等關系是自反的,對稱的,反對稱的,傳遞的。屬于等價關系。(A上的二元關系{<a,a>|a屬于A}為恒等關系)

反對稱定義:若xRy且yRx,則必有x=y.

反自反定義:任一x屬于A,都<x,x>不屬于R。

4,設P={<a,b>|a,b屬于R,且a<=b} ,自反,反對稱,可傳遞

設P={<a,b>|a,b屬于R,且a=b}自反,對稱,反對稱,可傳遞。恒等關系。

設P={<a,b>|a,b屬于N,且a|b}則自反,反對稱,可傳遞

相容關系:具有自反(自回路),對稱(兩點雙向連接)性的二元關系

注意,等價關系是具有傳遞性的相容關系。

偏序關系:就有自反(自回路),反對稱(單向連接),傳遞等性質的二元關系。

 



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